Quá trình ngẫu nhiên – Wikipedia tiếng Việt

Quá trình ngẫu nhiên là ngược lại với một quá trình có xác định trước (hay hệ thống xác định) trong lý thuyết xác suất. Thay vì chỉ xem xét một khả năng ‘thực tế’ làm thế nào mà một quá trình có thể diễn tiến theo thời gian (như là trong trường hợp, ví dụ như, các nghiệm của một phương trình vi phân thường), trong một quá trình ngẫu nhiên có một số bất định nào đó trong diễn tiến tương lai miêu tả bởi các phân bố xác suất. Điều này nghĩa là ngay cả nếu như điều kiện đầu (hay điểm bắt đầu) là biết trước, có nhiều khả năng có thể xảy ra, nhưng một số quỹ đạo có nhiều khả năng xảy ra hơn các quỹ đạo khác.

Trong trường hợp đơn thuần nhất ( thời hạn rời rạc ), một quá trình ngẫu nhiên chỉ là một chuỗi của những biến thời hạn gọi là chuỗi thời hạn ( time series ) ( ví dụ, xem xích Markov ). Một dạng cơ sở khác của một quá trình ngẫu nhiên là một trường ngẫu nhiên, với tập miền là một miền của khoảng trống, nói một cách khác, một hàm số ngẫu nhiên mà biến được chọn ra từ một khoảng chừng của những giá trị đổi khác một cách liên tục. Một tiếp cận quá trình ngẫu nhiên xem chúng như hàm số với một hay nhiều biến xác lập ( những ‘ đầu vào ‘, đa phần được xem như thể ‘ thời hạn ‘ ) mà những giá trị ( những ‘ đầu ra ‘ ) là những biến ngẫu nhiên : những giá trị không xác lập có những phân bổ Xác Suất nào đó. Những biến ngẫu nhiên tương ứng với những thời hạn khác nhau ( hay những điểm, trong trường hợp trường ngẫu nhiên ) hoàn toàn có thể trọn vẹn khác nhau. Yêu cầu chính là những đại lượng ngẫu nhiên này đều có cùng một kiểu. [ 1 ] Mặc dù những giá trị ngẫu nhiên của một quá trình ngẫu nhiên tại những thời gian khác nhau hoàn toàn có thể là những biến ngẫu nhiên độc lập, trong hầu hết những trường hợp xem xét đến chúng đều có những liên hệ hỗ tương phức tạp về mặc thống kê .Các ví dụ quen thuộc của những quá trình được mô phỏng như thể những chuỗi ngẫu nhiên gồm có kinh doanh thị trường chứng khoán và đổi khác của tỷ giá ngoại tệ, những tín hiệu như là lời nói, âm thanh và hình ảnh, tài liệu y khoa như là EKG, EEG, huyết áp hay nhiệt độ, và những hoạt động ngẫu nhiên như hoạt động Brown hay là những bước ngẫu nhiên ( random walk ). Ví dụ của những trường ngẫu nhiên gồm có những ảnh tĩnh, địa hình ngẫu nhiên, hay là hỗn hợp của những vật tư không như nhau .

Định nghĩa chuẩn và những đặc thù cơ bản[sửa|sửa mã nguồn]

Cho một không gian xác suất

(
Ω
,

F

,
P
)

{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}

{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)},
một quá trình ngẫu nhiên với không gian trạng thái X là một tập hợp của các biến ngẫu nhiên với giá trị trong X được đánh số thứ tự bởi một tập hợp T (“thời gian”). Nghĩa là, một quá trình ngẫu nhiên F là một tập hợp

{ F t : t ∈ T } { \ displaystyle \ { F_ { t } : t \ in T \ } }{\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}

với mỗi

F

t

{\displaystyle F_{t}}

{\displaystyle F_{t}} là một biến ngẫu nhiên có giá trị trong X.

Một cải tiến G của quá trình F là một quá trình ngẫu nhiên trên cùng một không gian trạng thái, với cùng tập hợp tham số T sao cho

P. ( F t = G t ) = 1 ∀ t ∈ T { \ displaystyle P. ( F_ { t } = G_ { t } ) = 1 \ qquad \ forall t \ in T }{\displaystyle P(F_{t}=G_{t})=1\qquad \forall t\in T}

Các phân bổ hữu hạn chiều[sửa|sửa mã nguồn]

Cho một quá trình ngẫu nhiên F với giá trị nằm trong X. Với bất cứ tập con hữu hạn

T


T

{\displaystyle T’\subseteq T}

{\displaystyle T'\subseteq T}, chúng ta có thể viết

T

=
{

t

1

,

,

t

k

}

{\displaystyle T’=\{t_{1},\ldots ,t_{k}\}}

{\displaystyle T'=\{t_{1},\ldots ,t_{k}\}}, với

k
=
#

T

{\displaystyle k=\#T’}

{\displaystyle k=\#T'} và giới hạn

F

|

T

=
(

F

t

1

,

F

t

2

,

,

F

t

k

)

{\displaystyle F|_{T’}=(F_{t_{1}},F_{t_{2}},\ldots ,F_{t_{k}})}

{\displaystyle F|_{T'}=(F_{t_{1}},F_{t_{2}},\ldots ,F_{t_{k}})} là một biến ngẫu nhiên có giá trị ở trong

X

#

T

{\displaystyle X^{\#T’}}

{\displaystyle X^{\#T'}}. Phân bố

P

T

=

P

F

|

T


1

{\displaystyle \mathbb {P} _{T’}=\mathbb {P} F|_{T’}^{-1}}

{\displaystyle \mathbb {P} _{T'}=\mathbb {P} F|_{T'}^{-1}} của biến ngẫu nhiên này là một độ đo xác suất trên

X

#

T

{\displaystyle X^{\#T^{\prime }}}

{\displaystyle X^{\#T^{\prime }}}.
Những biến ngẫu nhiên này được gọi là phân bố hữu hạn chiều của F.

Dưới những số lượng giới hạn tôpô thích hợp, một tập thích hợp của những phân bổ hữu hạn chiều hoàn toàn có thể được sử dụng để định nghĩa một quá trình ngẫu nhiên ( xem lan rộng ra Kolmogorov trong mục sau đó ) .

Xây dựng những quá trình ngẫu nhiên[sửa|sửa mã nguồn]

Trong quá trình tiên đề triết lý Phần Trăm bằng kim chỉ nan đo, yếu tố là thiết kế xây dựng một sigma-đại số của những tập đo được của khoảng trống những hàm số, và đặt lên đó một độ đo hữu hạn. Với mục tiêu này theo truyền thống cuội nguồn người ta sử dụng một chiêu thức gọi là lan rộng ra Kolmogorov .

Có một cách tiên đề hóa lý thuyết xác suất khác thông qua các giá trị mong đợi trên đại số C-sao của các biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp này phương pháp đó được gọi là xây dựng Gelfand-Naimark-Segal.

Điều này giống như là hai cách tiếp cận kim chỉ nan độ đo và tích phân, khi người ta có lựa chọn kiến thiết xây dựng độ đo trên những tập hợp trước và định nghĩa tích phân sau đó, hay là kiến thiết xây dựng những tích phân trước và định nghĩa độ đo tập hợp như là tích phân của những hàm số đặc trưng .

Phép lan rộng ra Kolmogorov[sửa|sửa mã nguồn]

Phép mở rộng Kolmogorov được diễn đạt theo quá trình sau: giả sử một độ đo xác suất trên không gian của các hàm số

f
:
X

Y

{\displaystyle f:X\to Y}

f:X\to Y tồn tại, thì nó có thể được sử dụng để chỉ ra phân bố xác suất liên kết của các biến ngẫu nhiên hữu hạn chiều

f
(

x

1

)
,

,
f
(

x

n

)

{\displaystyle f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})}

{\displaystyle f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})}. Bây giờ, từ phân bố xác suất n-chiều này ta có thể suy ra một phân bố xác suất biên (n − 1)-chiều cho

f
(

x

1

)
,

,
f
(

x

n

1

)

{\displaystyle f(x_{1}),\dots ,f(x_{n-1})}

{\displaystyle f(x_{1}),\dots ,f(x_{n-1})}. Chú ý rằng điều kiện tương thích hiển nhiên, rằng phân bố xác suất biên này là cùng loại với phân bố được suy ra từ quá trình ngẫu nhiên, là không cần thiết. Một điều kiện như vậy là đúng, ví dụ, nếu như quá trình ngẫu nhiên là quá trình Wiener (trong trường hợp này các phân bố biên là tất cả các phân bố gaussian của loại hàm mũ) nhưng không tổng quát cho tất cả các quá trình ngẫu nhiên. Khi điều kiện này được biểu diễn dưới các hàm mật độ xác suất, kết quả được gọi là phương trình Chapman-Kolmogorov.

Định lý lan rộng ra Kolmogorov bảo vệ sự sống sót của một quá trình ngẫu nhiên với một họ của những phân bổ Tỷ Lệ hữu hạn chiều thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo thích hợp Chapman-Kolmogorov .

Tính khả ly, hay là thứ mà phép lan rộng ra Kolmogorov không phân phối[sửa|sửa mã nguồn]

Nhớ lại rằng, trong hệ tiên đề Kolmogorov, những tập hợp đo được là những tập có Phần Trăm, hay nói những khác, là những tập hợp tương quan tới những câu hỏi có / không có một câu vấn đáp mang tính Tỷ Lệ .

Phép mở rộng Kolmogorov bắt đầu bằng các tuyên bố rằng để gọi là đo được tất cả các tập hợp hàm số với hữu hạn tọa độ

[
f
(

x

1

)
,

,
f
(

x

n

)
]

{\displaystyle [f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})]}

{\displaystyle [f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})]} được giới hạn nằmg trong các tập con đo được của

Y

n

{\displaystyle Y_{n}}

Y_{n}. Nói một cách khác, nếu một câu hỏi có/không về hàm số f có thể được trả lời bằng cách xem xét các giá trị của nhiều nhất là hữu hạn tọa độ, thì nó có một câu trả lời mang tính xác suất.

Trong kim chỉ nan độ đo, nếu tất cả chúng ta có một họ vô hạn đếm được của những tập hợp đo được, thì hợp và giao của chúng là một tập đo được. Cho mục tiêu của tất cả chúng ta, điều này nghĩa là những câu hỏi có / không nhờ vào vào bao nhiêu tọa độ đếm được mà tất cả chúng ta có câu vấn đáp Phần Trăm .Điều khả quan là phép lan rộng ra Kolmogorov làm tất cả chúng ta hoàn toàn có thể kiến thiết xây dựng một quá trình ngẫu nhiên với những phân bổ hữu hạn chiều khá là tùy ý ..

Các ví dụ và những trường hợp đặc biệt quan trọng[sửa|sửa mã nguồn]

Một trường hợp đặc biệt là khi thời gian là một tập hợp rời rạc, ví dụ các số tự nhiên không âm {0, 1, 2, 3,…}. Trường hợp đặc biệt quan trọng khác là khi

T
=

R

{\displaystyle T=\mathbb {R} }

{\displaystyle T=\mathbb {R} }.

Các quá trình ngẫu nhiên có thể được định nghĩa trên các chiều không gian cao hơn bằng cách gắn một biến ngẫu nhiên đa chiều vào từng điểm của tập chỉ số, tương đương với việc sử dụng một tập chỉ số đa chiều (multidimensional index set). Thật vậy một biến ngẫu nhiên đa chiều tự nó có thể được xem như là một quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số T = {1,…, n}.

Các ví dụ[sửa|sửa mã nguồn]

Các quá trình ngẫu nhiên liên tục được gọi là những quá trình Wiener. Trong dạng nguyên thủy bài toán liên quá đến hoạt động của một hạt hoạt động trên một mặt phẳng chất lỏng, nhận những cú ” hích ” từ những phân tử của chất lỏng. Hạt đó được xem như là chịu một lực ngẫu nhiên mà, do tại những phân tử là rất nhỏ và rất gần nhau, được xem như thể liên tục và, chính bới hạt đó bị số lượng giới hạn trong mặt chất lỏng bởi sức căng mặt phẳng, tại mỗi điểm của thời hạn nó là một vecto song song với mặt phẳng

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

  1. ^ Nói theo toán, ‘ kiểu ‘ chỉ tới tập đích của hàm số .

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *